Trigonometria Exemplos

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} - \frac{\cos (x)}{\sec (x) + 1} = \frac{2 \cos (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} - \frac{\cos (x)}{\sec (x) + 1}$

Etapa 2

Subtraia frações.

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} - \frac{\cos (x)}{\sec (x) + 1}$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{\cos (x)}{\sec (x) + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} - \frac{\cos (x)}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$ por $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{\cos (x) (\sec (x) + 1)}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} - \frac{\cos (x)}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sec (x) + 1}$ por $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\cos (x) (\sec (x) + 1)}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} - \frac{\cos (x) (\sec (x) - 1)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ .

$\frac{\cos (x) (\sec (x) + 1)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} - \frac{\cos (x) (\sec (x) - 1)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (x) (\sec (x) + 1) - \cos (x) (\sec (x) - 1)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x) \sec (x) + \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (\sec (x) - 1)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) + \cos (x) - \cos (x) (\sec (x) - 1)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x) \sec (x) + \cos (x) - \cos (x) \sec (x) - \cos (x) \cdot - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $- \cos (x) \cdot - 1$ .

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Etapa 3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) + \cos (x) - \cos (x) \sec (x) + 1 \cos (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) + \cos (x) - \cos (x) \sec (x) + \cos (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 3.2

Subtraia $\cos (x) \sec (x)$ de $\cos (x) \sec (x)$ .

$\frac{0 + \cos (x) + \cos (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 3.4

Some $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Expanda $(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (x)}{\sec (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1)}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1)}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{2 \cos (x)}{\sec^{2} (x) - 1}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2 \cos (x)}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 6

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} - \frac{\cos (x)}{\sec (x) + 1} = \frac{2 \cos (x)}{\tan^{2} (x)}$ é uma identidade