Trigonometria Exemplos

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)}$

Etapa 2

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 2.1

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cot (x) - \cos (x)}$

Etapa 2.2

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Etapa 3

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Etapa 4

Combine.

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Etapa 5

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Etapa 6

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Etapa 7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$\frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Etapa 8.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Etapa 8.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.1

Fatore $\cos (x)$ de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)$ .

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Etapa 8.3.1.1

Fatore $\cos (x)$ de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Etapa 8.3.1.2

Fatore $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1}$

Etapa 8.3.1.3

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Etapa 8.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

Etapa 8.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

Etapa 8.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 8.4

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}}$

Etapa 8.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))})$

Etapa 8.6

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$ por $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Etapa 8.7

Cancele o fator comum de $1 - \sin (x)$ .

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Etapa 8.7.1

Fatore $1 - \sin (x)$ de $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Etapa 8.7.2

Fatore $1 - \sin (x)$ de $\cos (x) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

Etapa 8.7.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

Etapa 8.7.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.8

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.8.2

Reescreva a expressão.

$(1 + \sin (x)) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 8.9

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 8.10

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 8.11

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 10

Reescreva $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ como $\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ .

$\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

Etapa 11

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ é uma identidade