Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1}$

Etapa 2

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 3.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + 1 \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 3.1.3

Multiplique $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 3.2

Para escrever $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 3.3

Para escrever $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Etapa 3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ por $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.4.3

Reordene os fatores de $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 3.6.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.6.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.6.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.6.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.6.4

Some $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{1 + {\sin (x)}^{2} + 2 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.6.5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.6.5.1

Reorganize os termos.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.6.5.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.6.5.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

Etapa 3.6.5.4

Reescreva o polinômio.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.6.5.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de ${(1 + \sin (x))}^{2}$ e $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) + 1}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $1 + \sin (x)$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$1$

Etapa 5

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$ é uma identidade