Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)}$

Etapa 2

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1.1

Para escrever $- \cos (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 3.1.2

Combine $- \cos (x)$ e $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{1 - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 3.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.4.1

Multiplique $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 3.1.4.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{\cos (x)}}$

Etapa 3.1.4.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{\cos (x)}}$

Etapa 3.1.4.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}$

Etapa 3.1.4.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Etapa 3.1.4.2

Reescreva $1 - {\cos (x)}^{2}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 3.1.4.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Etapa 3.1.4.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \cos (x)$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}}$

Etapa 3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) \cdot 1 + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $1 + \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (- \cos (x))}$

Etapa 5.1.3

Multiplique $- \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}$

Etapa 5.1.4

Multiplique $\cos (x) (- \cos (x))$ .

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Etapa 5.1.4.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}$

Etapa 5.1.4.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}$

Etapa 5.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Etapa 5.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}$

Etapa 5.2

Subtraia $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}$

Etapa 5.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ como $\cot (x) \csc (x)$ .

$\cot (x) \csc (x)$

Etapa 8

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$ é uma identidade