Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} = 2 \sec (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 2

Some as frações.

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ por $\frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$ por $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))} + \frac{\sec (x) + \tan (x)}{(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))} + \frac{\sec (x) + \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Some $\sec (x)$ e $\sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) - \tan (x) + \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Etapa 3.2

Some $- \tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) + 0}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Etapa 3.3

Some $2 \sec (x)$ e $0$ .

$\frac{2 \sec (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Expanda $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2 \sec (x)}{1}$

Etapa 6

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{1}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Divida $2 \frac{1}{\cos (x)}$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 7.2

Combine $2$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)}$

Etapa 8

Reescreva $\frac{2}{\cos (x)}$ como $2 \sec (x)$ .

$2 \sec (x)$

Etapa 9

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} = 2 \sec (x)$ é uma identidade