Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

Etapa 2

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 2.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan (x) \sec (x)$

Etapa 2.2

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x)$

Etapa 2.3

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 2.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

Etapa 6.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$ é uma identidade