Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1}$

Etapa 2

Some as frações.

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{1}{\cos (x) + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1}$ .

$\frac{1}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1}$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{1}{\cos (x) - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x) + 1}$ por $\frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1}$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{1}{\cos (x) - 1} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1}{\cos (x) - 1}$ por $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{\cos (x) + 1}{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{\cos (x) + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (x) - 1 + \cos (x) + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Some $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 1 + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Etapa 3.2

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{2 \cos (x) + 0}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Etapa 3.3

Some $2 \cos (x)$ e $0$ .

$\frac{2 \cos (x)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Expanda $(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1)}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1)}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) - 1}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

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Etapa 5.1

Reordene $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 + \cos^{2} (x)}$

Etapa 5.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}$

Etapa 5.3

Fatore $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}$

Etapa 5.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}$

Etapa 5.5

Reescreva $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- (1 - \cos^{2} (x))}$

Etapa 5.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2 \cos (x)}{- \sin^{2} (x)}$

Etapa 6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 8

Combine.

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Etapa 9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Etapa 10

Multiplique ${\sin (x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 12

Agora, considere o lado direito da equação.

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

Etapa 13

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 13.1

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

Etapa 13.2

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 14.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 14.3

Multiplique $- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Etapa 14.3.1

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{2}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 14.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Etapa 14.3.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Etapa 14.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Etapa 14.3.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 14.4

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 15

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ é uma identidade