Trigonometria Exemplos

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1) = \cot (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1)$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)) (\csc (x) + 1)$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\csc (x) + 1)$

Etapa 2.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Etapa 2.3

Expanda $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Etapa 2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Etapa 2.4.1.3

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.4.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ para o numerador.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Etapa 2.4.1.3.2

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Etapa 2.4.1.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Etapa 2.4.1.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Etapa 2.4.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Etapa 2.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2.4.2

Subtraia $\frac{1}{\cos (x)}$ de $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + 0 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2.4.3

Some $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ e $0$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3

Subtraia frações.

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Etapa 3.1

Para escrever $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 4

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de ${\cos (x)}^{2}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ como $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Etapa 8

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1) = \cot (x)$ é uma identidade