Trigonometria Exemplos

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x)) = \sin (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x))$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)) (1 - \cos (x))$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cos (x))$

Etapa 2.2

Expanda $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} (1 - \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \cos (x))$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \cos (x))$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Etapa 2.3.1.3

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Etapa 2.3.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Etapa 2.3.1.6.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.3.1.6.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.3.1.6.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.3.1.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Etapa 2.3.1.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.3.2

Some $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + 0 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.3.3

Some $\frac{1}{\sin (x)}$ e $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (x)$ e $\sin (x)$ .

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Etapa 2.6.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (x)}{1}$

Etapa 2.6.2.4

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x)$

Etapa 3

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x)) = \sin (x)$ é uma identidade