Trigonometria Exemplos

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)} = \frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$

Etapa 2

Multiplique $\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 3

Combine.

$\frac{\csc (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Etapa 4.2

Multiplique $\csc (x)$ por $1$ .

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Expanda $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Etapa 5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 7.1

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \csc (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7.2

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Combine $\frac{1}{\sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.3

Multiplique $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 9

Reescreva $\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$ como $\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 10

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)} = \frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$ é uma identidade