Trigonometria Exemplos

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)} = \sin (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)}$

Etapa 2.1.3

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x))}{\csc (x)}$

Etapa 2.1.4

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\csc (x)}$

Etapa 2.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)$

Etapa 2.4

Expanda $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Etapa 2.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Etapa 2.5

Combine os termos opostos em $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

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Etapa 2.5.1

Reorganize os fatores nos termos $\frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Etapa 2.5.2

Some $- \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Etapa 2.5.3

Some $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ e $0$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Etapa 2.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Etapa 2.6.1.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Etapa 2.6.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Etapa 2.6.1.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Etapa 2.6.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Etapa 2.6.1.5

Some $1$ e $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Etapa 2.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)$

Etapa 2.6.3

Multiplique $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 2.6.3.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

Etapa 2.6.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

Etapa 2.6.3.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

Etapa 2.6.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

Etapa 2.6.3.5

Some $1$ e $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

Etapa 2.6.3.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \sin (x)$

Etapa 2.6.3.7

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \sin (x)$

Etapa 2.6.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \sin (x)$

Etapa 2.6.3.9

Some $1$ e $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \sin (x)$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Etapa 2.8

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Etapa 2.9

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Etapa 2.9.2

Reescreva a expressão.

$1 \sin (x)$

Etapa 2.10

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x)$

Etapa 3

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)} = \sin (x)$ é uma identidade