Trigonometria Exemplos

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.3

Expanda $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.4

Combine os termos opostos em $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

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Etapa 2.4.1

Reorganize os fatores nos termos $\frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.4.2

Some $- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + 0 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.4.3

Some $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ e $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Etapa 2.5.1.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.1.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Etapa 2.5.3.1

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.3.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.3.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.3.6

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.3.7

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.5.3.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.8

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 2.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.8.2

Reescreva a expressão.

$1 + \tan^{2} (x)$

Etapa 2.9

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 2.10

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \cos (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{\cos (x)}^{2} + (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 5

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ é uma identidade