Trigonometria Exemplos

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Etapa 2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Etapa 2.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Etapa 2.4

Combine $2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Etapa 2.5

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Multiplique $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Etapa 2.6.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Etapa 2.6.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)$

Etapa 2.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)$

Etapa 2.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

Etapa 2.7

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 2.8

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 2.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.1.2

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.1.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.3.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.3.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.3.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.3.4

Reescreva $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin (x)$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.3.4.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.3.4.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 4.3.4.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.3.4.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

Etapa 6

Simplifique o denominador.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de ${(1 + \sin (x))}^{2}$ e $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Etapa 8

Reescreva $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ como $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$

Etapa 9

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$ é uma identidade