Trigonometria Exemplos

$\cot (t) + \frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)} = \csc (t)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\cot (t) + \frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Reescreva $\cot (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \cos (t)}{1 + \cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{1 + \cos (t)}{1 + \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$

Etapa 2.3

Para escrever $\frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{1 + \cos (t)}{1 + \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\sin (t) (1 + \cos (t))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ por $\frac{1 + \cos (t)}{1 + \cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t) (1 + \cos (t))}{\sin (t) (1 + \cos (t))} + \frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$ por $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) (1 + \cos (t))}{\sin (t) (1 + \cos (t))} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{(1 + \cos (t)) \sin (t)}$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores de $(1 + \cos (t)) \sin (t)$ .

$\frac{\cos (t) (1 + \cos (t))}{\sin (t) (1 + \cos (t))} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (t) (1 + \cos (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (t) \cdot 1 + \cos (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $\cos (t)$ por $1$ .

$\frac{\cos (t) + \cos (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.6.3

Multiplique $\cos (t) \cos (t)$ .

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Etapa 2.6.3.1

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (t) + \cos^{1} (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.6.3.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (t) + \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.6.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (t) + {\cos (t)}^{1 + 1} + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.6.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.6.4

Multiplique $\sin (t) \sin (t)$ .

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Etapa 2.6.4.1

Eleve $\sin (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.6.4.2

Eleve $\sin (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.6.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (t) + \cos^{2} (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.6.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.6.5

Reescreva $\cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.6.5.1

Reorganize os termos.

$\frac{\cos (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.6.5.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\cos (t) + 1}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.7

Cancele o fator comum de $\cos (t) + 1$ e $1 + \cos (t)$ .

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Etapa 2.7.1

Reordene os termos.

$\frac{1 + \cos (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + \cos (t)}{\sin (t) (1 + \cos (t))}$

Etapa 2.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sin (t)}$

Etapa 3

Reescreva $\frac{1}{\sin (t)}$ como $\csc (t)$ .

$\csc (t)$

Etapa 4

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cot (t) + \frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)} = \csc (t)$ é uma identidade