Trigonometria Exemplos

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Etapa 2

Como $\cot (- x)$ é uma função ímpar, reescreva $\cot (- x)$ como $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Etapa 3

Como $\cos (- x)$ é uma função par, reescreva $\cos (- x)$ como $\cos (x)$ .

$- \cot (x) \cos (x) + \sin (- x)$

Etapa 4

Como $\sin (- x)$ é uma função ímpar, reescreva $\sin (- x)$ como $- \sin (x)$ .

$- \cot (x) \cos (x) - \sin (x)$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) - \sin (x)$

Etapa 5.2

Multiplique $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Etapa 5.2.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Etapa 5.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Etapa 5.2.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Etapa 5.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x)$

Etapa 5.2.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Etapa 6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$- \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} - \sin (x)$

Etapa 7.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x)$

Etapa 7.2

Para escrever $- \sin (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x) \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.3

Combine $- \sin (x)$ e $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1

Fatore $- 1$ de $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 7.5.1.1

Fatore $- 1$ de $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.1.2

Fatore $- 1$ de $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.1.3

Fatore $- 1$ de $- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.2

Expanda $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.5.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{- (1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.3.1.2

Multiplique $- \sin (x)$ por $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.3.1.3

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.3.1.4

Multiplique $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 7.5.3.1.4.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.3.1.4.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.3.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.3.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.3.2

Some $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{- (1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.3.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.4

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 7.5.4.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.4.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1 + 1})}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.5

Some $- {\sin (x)}^{2}$ e ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- (1 + 0)}{\sin (x)}$

Etapa 7.5.6

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)}$

Etapa 7.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Etapa 7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 8

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 9

Combine.

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 \sin (x)}$

Etapa 10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{1 \sin (x)}$

Etapa 11

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Etapa 12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 13

Agora, considere o lado direito da equação.

$- \csc (x)$

Etapa 14

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 15

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$ é uma identidade