Trigonometria Exemplos

$\cos (y) \cos (x - y) - \sin (y) \sin (x - y) = \cos (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\cos (y) \cos (x - y) - \sin (y) \sin (x - y)$

Etapa 2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) - \sin (y) \sin (x - y)$

Etapa 3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Etapa 4.1.2

Multiplique $\cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

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Etapa 4.1.2.1

Eleve $\cos (y)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (y) \cos (y) \cos (x) + \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Etapa 4.1.2.2

Eleve $\cos (y)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (y) \cos^{1} (y) \cos (x) + \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Etapa 4.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (y)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Etapa 4.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y)) - \sin (y) (- \cos (x) \sin (y))$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- \sin (y) (- \cos (x) \sin (y))$ .

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Etapa 4.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + 1 \sin (y) (\cos (x) \sin (y))$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $\sin (y)$ por $1$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + \sin (y) (\cos (x) \sin (y))$

Etapa 4.1.4.3

Eleve $\sin (y)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + \sin^{1} (y) \sin (y) \cos (x)$

Etapa 4.1.4.4

Eleve $\sin (y)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + \sin^{1} (y) \sin^{1} (y) \cos (x)$

Etapa 4.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + {\sin (y)}^{1 + 1} \cos (x)$

Etapa 4.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + \sin^{2} (y) \cos (x)$

Etapa 4.2

Combine os termos opostos em $\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + \sin^{2} (y) \cos (x)$ .

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Etapa 4.2.1

Reorganize os fatores nos termos $\cos (y) \sin (x) \sin (y)$ e $- \sin (y) \sin (x) \cos (y)$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y) \cos (x)$

Etapa 4.2.2

Subtraia $\cos (y) \sin (x) \sin (y)$ de $\cos (y) \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + 0 + \sin^{2} (y) \cos (x)$

Etapa 4.2.3

Some $\cos^{2} (y) \cos (x)$ e $0$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (y) \cos (x)$

Etapa 4.3

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (y) \cos (x)$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (y) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos^{2} (y) + \sin^{2} (y) \cos (x)$

Etapa 4.3.2

Fatore $\cos (x)$ de $\sin^{2} (y) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos^{2} (y) + \cos (x) \sin^{2} (y)$

Etapa 4.3.3

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \cos^{2} (y) + \cos (x) \sin^{2} (y)$ .

$\cos (x) (\cos^{2} (y) + \sin^{2} (y))$

Etapa 4.4

Reorganize os termos.

$\cos (x) (\sin^{2} (y) + \cos^{2} (y))$

Etapa 4.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\cos (x) \cdot 1$

Etapa 4.6

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x)$

Etapa 5

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cos (y) \cos (x - y) - \sin (y) \sin (x - y) = \cos (x)$ é uma identidade