Trigonometria Exemplos

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

Etapa 2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

Etapa 3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\cos (\frac{π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4.1.3

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \sin (\frac{π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4.1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 4.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4.1.6.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4.1.7

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4.1.8

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \sin (\frac{π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4.1.9

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4.1.10

Combine $\cos (x)$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4.1.11

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (x)$

Etapa 4.1.12

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x)$

Etapa 4.1.13

Combine $\sin (x)$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.3

Combine os termos opostos em $\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Reorganize os fatores nos termos $\sqrt{2} \cos (x)$ e $- \cos (x) \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $\sqrt{2} \cos (x)$ de $\sqrt{2} \cos (x)$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.3.3

Some $0$ e $\sqrt{2} \sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.3.4

Reorganize os fatores nos termos $\sqrt{2} \sin (x)$ e $- \sin (x) \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Etapa 4.3.5

Subtraia $\sqrt{2} \sin (x)$ de $\sqrt{2} \sin (x)$ .

$\frac{0}{2}$

Etapa 4.4

Divida $0$ por $2$ .

$0$

Etapa 5

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$ é uma identidade