Trigonometria Exemplos

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b)$

Etapa 2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot \cos (a - b)$

Etapa 3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (- b) - \sin (a) \sin (- b))$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Como $\cos (- b)$ é uma função par, reescreva $\cos (- b)$ como $\cos (b)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (- b))$

Etapa 4.1.2

Como $\sin (- b)$ é uma função ímpar, reescreva $\sin (- b)$ como $- \sin (b)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) (- \sin (b)))$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- \sin (a) (- \sin (b))$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + 1 \sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\sin (a)$ por $1$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.2

Expanda $(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.3

Combine os termos opostos em $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ .

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Etapa 4.3.1

Reorganize os fatores nos termos $\cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b))$ e $- \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b))$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.3.2

Subtraia $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ de $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + 0 - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.3.3

Some $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ e $0$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ .

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Etapa 4.4.1.1

Eleve $\cos (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.4.1.2

Eleve $\cos (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos^{1} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.4.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (a)}^{1 + 1} \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.4.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.4.1.5

Eleve $\cos (b)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.4.1.6

Eleve $\cos (b)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos^{1} (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.4.1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (a) {\cos (b)}^{1 + 1} - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.4.1.8

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Etapa 4.4.2

Multiplique $- \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ .

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Etapa 4.4.2.1

Eleve $\sin (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin (a)) \sin (b) \sin (b)$

Etapa 4.4.2.2

Eleve $\sin (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin^{1} (a)) \sin (b) \sin (b)$

Etapa 4.4.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - {\sin (a)}^{1 + 1} \sin (b) \sin (b)$

Etapa 4.4.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin (b) \sin (b)$

Etapa 4.4.2.5

Eleve $\sin (b)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin (b))$

Etapa 4.4.2.6

Eleve $\sin (b)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin^{1} (b))$

Etapa 4.4.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) {\sin (b)}^{1 + 1}$

Etapa 4.4.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$(1 - \sin^{2} (a)) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Etapa 6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Etapa 7

Multiplique ${\cos (b)}^{2}$ por $1$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Etapa 8

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

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Etapa 8.1

Fatore $- \sin^{2} (a)$ de $- \sin^{2} (a) \cos^{2} (b)$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Etapa 8.2

Fatore $- \sin^{2} (a)$ de $- \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$

Etapa 8.3

Fatore $- \sin^{2} (a)$ de $- \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b) + \sin^{2} (b))$

Etapa 8.4

Reorganize os termos.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b) + \cos^{2} (b))$

Etapa 8.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cdot 1$

Etapa 9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

Etapa 10

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$ é uma identidade