Trigonometria Exemplos

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1)$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2) (2 \tan (x) + 1)$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum.

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Etapa 2.3.2

Reescreva a expressão.

$(\sin (x) + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Etapa 2.4

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$(\sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) (2 \tan (x) + 1)$

Etapa 2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Etapa 2.5.2

Combine $2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Etapa 2.6

Expanda $(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1) + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Etapa 2.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.1.1

Multiplique $\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 2.7.1.1.1

Combine $\sin (x)$ e $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Etapa 2.7.1.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Etapa 2.7.1.1.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Etapa 2.7.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Etapa 2.7.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Etapa 2.7.1.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.7.1.3.1

Fatore $\cos (x)$ de $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Etapa 2.7.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Etapa 2.7.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1$

Etapa 2.7.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$

Etapa 2.7.1.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 2.7.2

Some $\sin (x)$ e $4 \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 (1^{2} - {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 4.2

Para escrever $5 \sin (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.3

Expanda $(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (1 - \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.4.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.4.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.4.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.4.1.4

Multiplique $2 \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Etapa 4.4.4.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \cos (x) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.4.1.4.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.4.1.4.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.4.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.4.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.4.2

Some $- 2 \cos (x)$ e $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 + 0 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.4.4.3

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Etapa 4.5

Para escrever $2 \cos (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 5

Agora, considere o lado direito da equação.

$2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

Etapa 6

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$2 \frac{1}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

Etapa 7

Combine $2$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

Etapa 8

Escreva $5 \sin (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1}$

Etapa 9

Some as frações.

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Etapa 9.1

Para escrever $\frac{5 \sin (x)}{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9.2

Multiplique $\frac{5 \sin (x)}{1}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 10

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$ é uma identidade