Trigonometria Exemplos

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Reescreva $\sec^{4} (x)$ como ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x)$

Etapa 2.2

Reescreva $\tan^{4} (x)$ como ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sec^{2} (x)$ e $b = \tan^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Etapa 2.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Etapa 2.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Etapa 2.4.4

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Etapa 2.4.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Etapa 2.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cdot 1$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3

Agora, considere o lado direito da equação.

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Etapa 4

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 4.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)$

Etapa 4.2

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 4.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 4.4

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 6

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ é uma identidade