Trigonometria Exemplos

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A) = \csc (A)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A)$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Reescreva $\cot (A)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Etapa 2.3

Para escrever $- \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$ .

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 - \cos (A)) \sin (A)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)}$ por $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{(1 - \cos (A)) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ por $\frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$ .

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{(1 - \cos (A)) \sin (A)} - \frac{\cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores de $(1 - \cos (A)) \sin (A)$ .

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))} - \frac{\cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (A) \sin (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $\sin (A) \sin (A)$ .

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Etapa 2.6.1.1

Eleve $\sin (A)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (A) \sin (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.1.2

Eleve $\sin (A)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (A) \sin^{1} (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sin (A)}^{1 + 1} - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) \cdot 1 - \cos (A) (- \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) - \cos (A) (- \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.4

Multiplique $- \cos (A) (- \cos (A))$ .

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Etapa 2.6.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + 1 \cos (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.4.2

Multiplique $\cos (A)$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.4.3

Eleve $\cos (A)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{1} (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.4.4

Eleve $\cos (A)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{1} (A) \cos^{1} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + {\cos (A)}^{1 + 1}}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{2} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.5

Reescreva $\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{2} (A)$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.6.5.1

Reorganize os termos.

$\frac{- \cos (A) + \sin^{2} (A) + \cos^{2} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.6.5.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \cos (A) + 1}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.7

Cancele o fator comum de $- \cos (A) + 1$ e $1 - \cos (A)$ .

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Etapa 2.7.1

Reordene os termos.

$\frac{1 - \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Etapa 2.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sin (A)}$

Etapa 3

Reescreva $\frac{1}{\sin (A)}$ como $\csc (A)$ .

$\csc (A)$

Etapa 4

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A) = \csc (A)$ é uma identidade