Trigonometria Exemplos

$\csc^{2} (x) = \frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cot (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + 1$

Etapa 2.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + 1$

Etapa 2.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Etapa 2.5.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Etapa 2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Etapa 2.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Etapa 2.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + 1$

Etapa 2.6.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + 1$

Etapa 2.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + 1$

Etapa 2.6.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Etapa 4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Etapa 4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5

Reescreva $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Etapa 6

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\csc^{2} (x) = \frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$ é uma identidade