Trigonometria Exemplos

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Etapa 2

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 2.1

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sec^{2} (x)$

Etapa 2.2

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 2.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 2.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4

Subtraia frações.

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Etapa 4.1

Para escrever $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.2

Para escrever $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Etapa 4.3.3

Reordene os fatores de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Etapa 5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Etapa 6

Reescreva $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$ como $\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)}$ .

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$ é uma identidade