Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x) = \cos^{2} (2 x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Etapa 2

Fatore $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

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Etapa 2.1

Multiplique por $1$ .

$\cos^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Etapa 2.2

Fatore $\cos^{2} (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Etapa 2.3

Fatore $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$\cos^{2} (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$(1 - \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Expanda $(1 - {\sin (x)}^{2}) (1 - 2 {\sin (x)}^{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Etapa 4.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Etapa 4.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 2 {\sin (x)}^{2}$ por $1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique ${\sin (x)}^{2}$ por ${\sin (x)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.1.4.1

Mova ${\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}) \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2 + 2} \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.4.3

Some $2$ e $2$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{4} \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia ${\sin (x)}^{2}$ de $- 2 {\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 3 {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Etapa 4.2

Subtraia ${\sin (x)}^{2}$ de $- 3 {\sin (x)}^{2}$ .

$1 + 2 {\sin (x)}^{4} - 4 {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Etapa 4.3

Some $2 {\sin (x)}^{4}$ e $2 {\sin (x)}^{4}$ .

$1 + 4 \sin^{4} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Etapa 5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.1

Reorganize os termos.

$1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Etapa 5.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$1^{2} - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Etapa 5.3

Reescreva $4 \sin^{4} (x)$ como ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

$1^{2} - 4 \sin^{2} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Etapa 5.4

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cdot 1 \cdot (2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.5

Reescreva o polinômio.

$1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \sin^{2} (x)) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Etapa 5.6

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 1$ e $b = 2 \sin^{2} (x)$ .

${(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Etapa 6

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos^{2} (2 x)$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x) = \cos^{2} (2 x)$ é uma identidade