Trigonometria Exemplos

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$

Etapa 2

Multiplique $\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$ por $\frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$ .

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} \cdot \frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$

Etapa 3

Combine.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A) + 1)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A) \cdot 1}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\cot (A)$ por $1$ .

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores em $\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Expanda $(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A) + 1) + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A)) + 1 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) + 1}$

Etapa 6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

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Etapa 6.1

Fatore $- 1$ de $- \csc^{2} (A)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A)) + 1}$

Etapa 6.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 6.3

Fatore $- 1$ de $- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A) - 1)}$

Etapa 6.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Etapa 7

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 7.1

Escreva $\cot (A)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Etapa 7.2

Aplique a identidade recíproca a $\csc (A)$ .

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Etapa 7.3

Escreva $\cot (A)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \cot^{2} (A)}$

Etapa 7.4

Escreva $\cot (A)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}}$

Etapa 7.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.2

Multiplique $- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)}$ .

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (A)}$ por $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A) \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.2.2

Eleve $\sin (A)$ à potência de $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.2.3

Eleve $\sin (A)$ à potência de $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.2.5

Some $1$ e $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.3

Para escrever $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${\sin (A)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.4.1

Multiplique $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ por $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{\sin (A) \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.4.2

Eleve $\sin (A)$ à potência de $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.4.3

Eleve $\sin (A)$ à potência de $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.4.5

Some $1$ e $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.6

Fatore $\cos (A)$ de $- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)$ .

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Etapa 8.6.1

Fatore $\cos (A)$ de $- \cos (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.6.2

Fatore $\cos (A)$ de $\cos (A) \sin (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.6.3

Fatore $\cos (A)$ de $\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))$ .

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Etapa 8.7

Cancele o fator comum de $\cos (A)$ .

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Etapa 8.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$ para o numerador.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$

Etapa 8.7.2

Fatore $\cos (A)$ de ${\cos (A)}^{2}$ .

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Etapa 8.7.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Etapa 8.7.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A)}$

Etapa 8.8

Cancele o fator comum de ${\sin (A)}^{2}$ .

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Etapa 8.8.1

Fatore ${\sin (A)}^{2}$ de $- {\sin (A)}^{2}$ .

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Etapa 8.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Etapa 8.8.3

Reescreva a expressão.

$(- 1 + \sin (A)) \frac{- 1}{\cos (A)}$

Etapa 8.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(- 1 + \sin (A)) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Etapa 8.10

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 (- \frac{1}{\cos (A)}) + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Etapa 8.11

Multiplique $- 1 (- \frac{1}{\cos (A)})$ .

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Etapa 8.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Etapa 8.11.2

Multiplique $\frac{1}{\cos (A)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Etapa 8.12

Combine $\sin (A)$ e $\frac{1}{\cos (A)}$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Etapa 9

Agora, considere o lado direito da equação.

$\sec (A) - \tan (A)$

Etapa 10

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 10.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (A)$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \tan (A)$

Etapa 10.2

Escreva $\tan (A)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Etapa 11

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$ é uma identidade