Trigonometria Exemplos

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{4} (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1$

Etapa 2

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 2.1

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4} + 2 \tan^{2} (x) + 1$

Etapa 2.2

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1$

Etapa 2.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1$

Etapa 2.4

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $2$ e $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Etapa 3.2

Para escrever $\frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Etapa 3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${\cos (x)}^{4}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ por $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} + 1$

Etapa 3.3.2

Multiplique ${\cos (x)}^{2}$ por ${\cos (x)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 1$

Etapa 3.3.2.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Etapa 3.5

Fatore ${\sin (x)}^{2}$ de ${\sin (x)}^{4} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore ${\sin (x)}^{2}$ de ${\sin (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Etapa 3.5.2

Fatore ${\sin (x)}^{2}$ de $2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Etapa 3.5.3

Fatore ${\sin (x)}^{2}$ de ${\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2})$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Etapa 3.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$

Etapa 3.8

Simplifique o numerador.

$\frac{{(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}^{2}}{\cos^{4} (x)}$

Etapa 4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1^{2}}{\cos^{4} (x)}$

Etapa 5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Etapa 6

Reescreva $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ como $\sec^{4} (x)$ .

$\sec^{4} (x)$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{4} (x)$ é uma identidade