Trigonometria Exemplos

\frac{sin (x + y) + sin (x - y)}{cos (x + y) + cos (x - y)} = tan (x)

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} = \tan (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

\frac{sin (x + y) + sin (x - y)}{cos (x + y) + cos (x - y)}

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

Etapa 2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

\frac{sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y) + sin (x - y)}{cos (x + y) + cos (x - y)}

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

Etapa 3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

\frac{sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y) + sin (x) cos (- y) + cos (x) sin (- y)}{cos (x + y) + cos (x - y)}

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

Etapa 4

Aplique a fórmula da soma dos ângulos

cos (x + y) = cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y)

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

\frac{sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y) + sin (x) cos (- y) + cos (x) sin (- y)}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x - y)}

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x - y)}$

Etapa 5

Aplique a fórmula da soma dos ângulos

cos (x + y) = cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y)

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

\frac{sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y) + sin (x) cos (- y) + cos (x) sin (- y)}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (- y) - sin (x) sin (- y)}

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Como

cos (- y)

$\cos (- y)$ é uma função par, reescreva

cos (- y)

$\cos (- y)$ como

cos (y)

$\cos (y)$ .

\frac{sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y) + sin (x) cos (y) + cos (x) sin (- y)}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (- y) - sin (x) sin (- y)}

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Etapa 6.1.2

Como

sin (- y)

$\sin (- y)$ é uma função ímpar, reescreva

sin (- y)

$\sin (- y)$ como

- sin (y)

$- \sin (y)$ .

\frac{sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y) + sin (x) cos (y) + cos (x) (- sin (y))}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (- y) - sin (x) sin (- y)}

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Etapa 6.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

\frac{sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y) + sin (x) cos (y) - cos (x) sin (y)}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (- y) - sin (x) sin (- y)}

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Etapa 6.1.4

Some

sin (x) cos (y)

$\sin (x) \cos (y)$ e

sin (x) cos (y)

$\sin (x) \cos (y)$ .

\frac{2 sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y) - cos (x) sin (y)}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (- y) - sin (x) sin (- y)}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Etapa 6.1.5

Subtraia

cos (x) sin (y)

$\cos (x) \sin (y)$ de

cos (x) sin (y)

$\cos (x) \sin (y)$ .

\frac{2 sin (x) cos (y) + 0}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (- y) - sin (x) sin (- y)}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y) + 0}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Etapa 6.1.6

Some

2 sin (x) cos (y)

$2 \sin (x) \cos (y)$ e

0

$0$ .

\frac{2 sin (x) cos (y)}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (- y) - sin (x) sin (- y)}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

\frac{2 sin (x) cos (y)}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (- y) - sin (x) sin (- y)}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Como

cos (- y)

$\cos (- y)$ é uma função par, reescreva

cos (- y)

$\cos (- y)$ como

cos (y)

$\cos (y)$ .

\frac{2 sin (x) cos (y)}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (y) - sin (x) sin (- y)}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Etapa 6.2.2

Como

sin (- y)

$\sin (- y)$ é uma função ímpar, reescreva

sin (- y)

$\sin (- y)$ como

- sin (y)

$- \sin (y)$ .

\frac{2 sin (x) cos (y)}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (y) - sin (x) (- sin (y))}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y))}$

Etapa 6.2.3

Multiplique

- sin (x) (- sin (y))

$- \sin (x) (- \sin (y))$ .

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Etapa 6.2.3.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{2 sin (x) cos (y)}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (y) + 1 sin (x) sin (y)}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y)}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique

sin (x)

$\sin (x)$ por

1

$1$ .

\frac{2 sin (x) cos (y)}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

\frac{2 sin (x) cos (y)}{cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Etapa 6.2.4

Some

cos (x) cos (y)

$\cos (x) \cos (y)$ e

cos (x) cos (y)

$\cos (x) \cos (y)$ .

\frac{2 sin (x) cos (y)}{2 cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y) + sin (x) sin (y)}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Etapa 6.2.5

Some

- sin (x) sin (y)

$- \sin (x) \sin (y)$ e

sin (x) sin (y)

$\sin (x) \sin (y)$ .

\frac{2 sin (x) cos (y)}{2 cos (x) cos (y) + 0}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y) + 0}$

Etapa 6.2.6

Some

2 cos (x) cos (y)

$2 \cos (x) \cos (y)$ e

0

$0$ .

\frac{2 sin (x) cos (y)}{2 cos (x) cos (y)}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

\frac{2 sin (x) cos (y)}{2 cos (x) cos (y)}

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Etapa 6.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de

$\cos (y)$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Etapa 6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.5

Converta de

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em

$\tan (x)$ .

$\tan (x)$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} = \tan (x)$ é uma identidade