Trigonometria Exemplos

$\frac{2 \tan (\frac{5 π}{6})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{2 (- \tan (\frac{π}{6}))}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 1.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 1.3

Combine expoentes.

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Etapa 1.3.1

Fatore o negativo.

$\frac{- (2 \frac{\sqrt{3}}{3})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 1.3.2

Combine $2$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \tan (\frac{5 π}{6})$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 + \tan (\frac{5 π}{6})) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \tan (\frac{π}{6})) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

Etapa 2.3.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

Etapa 2.3.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - - \tan (\frac{π}{6}))}$

Etapa 2.3.4

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 2.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3}}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Expanda $(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (3 + \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Etapa 4.2.1.3.1

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.1.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 4.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{1}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $3$ de $9$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.3

Subtraia $3 \sqrt{3}$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 0}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.4

Some $6$ e $0$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{3 \cdot 3}}$

Etapa 5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{9}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $6$ e $9$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (2)}{9}}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}$

Etapa 6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 7.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot 3$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot 3$

Etapa 8.2

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{3}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \sqrt{3}$

Forma decimal:

$- 1.73205080 \dots$