Trigonometria Exemplos

$\frac{3}{\tan (67.5)}$

Etapa 1

Separe as frações.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\tan (67.5)}$

Etapa 2

Reescreva $\tan (67.5)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (67.5)}{\cos (67.5)}}$

Etapa 3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (67.5)}{\cos (67.5)}$ .

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\cos (67.5)}{\sin (67.5)}$

Etapa 4

Converta de $\frac{\cos (67.5)}{\sin (67.5)}$ em $\cot (67.5)$ .

$\frac{3}{1} \cot (67.5)$

Etapa 5

Divida $3$ por $1$ .

$3 \cot (67.5)$

Etapa 6

O valor exato de $\cot (67.5)$ é $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva $67.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$3 \cot (\frac{135}{2})$

Etapa 6.2

Aplique a identidade recíproca.

$3 \frac{1}{\tan (\frac{135}{2})}$

Etapa 6.3

Aplique a fórmula do arco metade da tangente.

$3 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$

Etapa 6.4

Altere o $\pm$ para $+$ , porque a cotangente é positiva no primeiro quadrante.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$

Etapa 6.5

Simplifique $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$ .

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Etapa 6.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.5.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}}$

Etapa 6.5.1.2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Etapa 6.5.1.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 6.5.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Etapa 6.5.1.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Etapa 6.5.1.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Etapa 6.5.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Etapa 6.5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.5.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}}$

Etapa 6.5.2.2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Etapa 6.5.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Etapa 6.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}$

Etapa 6.5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Etapa 6.5.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.5.3.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Etapa 6.5.3.2.2

Reescreva a expressão.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}$

Etapa 6.5.3.3

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}$

Etapa 6.5.3.4

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}$

Etapa 6.5.3.5

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Etapa 6.5.3.6

Simplifique.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 6.5.3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 6.5.3.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 6.5.3.8.2

Reescreva a expressão.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 6.5.3.9

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 6.5.3.10

Encontre o denominador comum.

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Etapa 6.5.3.10.1

Escreva $2$ como uma fração com denominador $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 6.5.3.10.2

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 6.5.3.10.3

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 6.5.3.10.4

Escreva $\sqrt{2}$ como uma fração com denominador $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 6.5.3.10.5

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 6.5.3.10.6

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 6.5.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 6.5.3.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.3.12.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 6.5.3.12.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 6.5.3.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 6.5.3.12.4

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 6.5.3.12.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Etapa 6.5.3.12.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.3.12.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Etapa 6.5.3.12.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Etapa 6.5.3.12.6.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Etapa 6.5.3.13

Some $4$ e $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 6.5.3.14

Some $2 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 6.5.3.15

Cancele o fator comum de $6 + 4 \sqrt{2}$ e $2$ .

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Etapa 6.5.3.15.1

Fatore $2$ de $6$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 6.5.3.15.2

Fatore $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 6.5.3.15.3

Fatore $2$ de $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 6.5.3.15.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.5.3.15.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Etapa 6.5.3.15.4.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Etapa 6.5.3.15.4.3

Reescreva a expressão.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Etapa 6.5.3.15.4.4

Divida $3 + 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 7

Combine $3$ e $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Forma decimal:

$1.24264068 \dots$