Trigonometria Exemplos

$\frac{\sin (315)}{1 + \cos (315)}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{- \sin (45)}{1 + \cos (315)}$

Etapa 1.2

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (315)}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}$

Etapa 2.2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Etapa 2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$\frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.3

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{2} \frac{1}{2 + \sqrt{2}}$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ e $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$

Etapa 6

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})$

Etapa 7

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}$

Etapa 8

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 9

Simplifique.

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{2}$

Etapa 10

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Etapa 11

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Etapa 12

Multiplique $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 12.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

Etapa 12.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

Etapa 12.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Etapa 12.4

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Etapa 13

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 13.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Etapa 13.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Etapa 13.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 13.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.1.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 13.1.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}$

Etapa 13.1.5

Avalie o expoente.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 13.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}$

Etapa 14

Simplifique os termos.

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Etapa 14.1

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{2} - 2$ e $2$ .

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Etapa 14.1.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}$

Etapa 14.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}$

Etapa 14.1.3

Fatore $2$ de $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}$

Etapa 14.1.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}$

Etapa 14.1.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}$

Etapa 14.1.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{2} - 1}{1}$

Etapa 14.1.4.4

Divida $\sqrt{2} - 1$ por $1$ .

$- (\sqrt{2} - 1)$

Etapa 14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sqrt{2} - - 1$

Etapa 14.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 1$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \sqrt{2} + 1$

Forma decimal:

$- 0.41421356 \dots$