Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (22.5)$

Etapa 1

O valor exato de $\cos (22.5)$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $22.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos^{2} (\frac{45}{2})$

Etapa 1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2}$

Etapa 1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

${\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}}^{2}$

Etapa 1.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Etapa 1.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

${\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Etapa 1.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

${\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.5.4.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

${\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

Etapa 1.5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

${\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

Etapa 1.5.5

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

${(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

Etapa 1.5.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

Etapa 1.5.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

${(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Etapa 2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 3

Reescreva ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ como $2 + \sqrt{2}$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ como ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

Etapa 4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$0.85355339 \dots$