Trigonometria Exemplos

$\sin^{2} (75)$

Etapa 1

O valor exato de $\sin (75)$ é $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Etapa 1.1

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sin^{2} (30 + 45)$

Etapa 1.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

${(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

Etapa 1.3

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

Etapa 1.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))}^{2}$

Etapa 1.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 1.7

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.7.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 1.7.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 1.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Etapa 1.7.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Etapa 1.7.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Etapa 1.7.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})}^{2}$

Etapa 1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})}^{2}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{4^{2}}$

Etapa 2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{16}$

Etapa 2.3

Reescreva ${(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ como $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Etapa 3

Expanda $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.6

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{2 + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{2 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.9

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.10

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.11

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.1.11.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.11.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.12

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 4.1.13

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6}}{16}$

Etapa 4.1.14

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{36}}{16}$

Etapa 4.1.15

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}}}{16}$

Etapa 4.1.16

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 6}{16}$

Etapa 4.2

Some $2$ e $6$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 4.3

Some $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $8 + 4 \sqrt{3}$ e $16$ .

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Etapa 5.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 5.2

Fatore $4$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Etapa 5.3

Fatore $4$ de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Etapa 5.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$0.93301270 \dots$