Trigonometria Exemplos

$\arctan (\tan (\frac{7 π}{12}))$

Etapa 1

Reescreva $\frac{7 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\arctan (\tan (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}))$

Etapa 2

Aplique a fórmula do arco metade da tangente.

$\arctan (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Etapa 3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Etapa 4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$ .

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Etapa 4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Etapa 4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Etapa 4.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Etapa 4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Etapa 4.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}})$

Etapa 4.7

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}})$

Etapa 4.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}})$

Etapa 4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}})$

Etapa 4.10

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})$

Etapa 4.11

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.11.1

Cancele o fator comum.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})$

Etapa 4.11.2

Reescreva a expressão.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}})$

Etapa 4.12

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ por $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})})$

Etapa 4.13

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ por $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}})$

Etapa 4.14

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}})$

Etapa 4.15

Simplifique.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}})$

Etapa 4.16

Divida $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})})$

Etapa 4.17

Expanda $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\arctan (- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})$

Etapa 4.17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\arctan (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})$

Etapa 4.17.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\arctan (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Etapa 4.18

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.18.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.18.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Etapa 4.18.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Etapa 4.18.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}})$

Etapa 4.18.1.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}})$

Etapa 4.18.1.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}})$

Etapa 4.18.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3})$

Etapa 4.18.2

Some $4$ e $3$ .

$\arctan (- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}})$

Etapa 4.18.3

Some $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\arctan (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\arctan (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$

Forma decimal:

$- 1.30899693 \dots$