Trigonometria Exemplos

$\arctan (\tan (- \frac{3 π}{8}))$

Etapa 1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\arctan (\tan (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 2

O valor exato de $\tan (\frac{13 π}{8})$ é $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{13 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\arctan (\tan (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

Etapa 2.2

Aplique a fórmula do arco metade da tangente.

$\arctan (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Etapa 2.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque a tangente é negativa no quarto quadrante.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Etapa 2.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}}$ .

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Etapa 2.4.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Etapa 2.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Etapa 2.4.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Etapa 2.4.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 2.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Etapa 2.4.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Etapa 2.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

Etapa 2.4.7

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})$

Etapa 2.4.8

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}})$

Etapa 2.4.9

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 2.4.10

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 2.4.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 2.4.12

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})$

Etapa 2.4.13

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.13.1

Cancele o fator comum.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})$

Etapa 2.4.13.2

Reescreva a expressão.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})$

Etapa 2.4.14

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})$

Etapa 2.4.15

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})$

Etapa 2.4.16

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})$

Etapa 2.4.17

Simplifique.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

Etapa 2.4.18

Aplique a propriedade distributiva.

$\arctan (- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

Etapa 2.4.19

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.19.1

Cancele o fator comum.

$\arctan (- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

Etapa 2.4.19.2

Reescreva a expressão.

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

Etapa 2.4.20

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})$

Etapa 2.4.21

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})$

Etapa 2.4.21.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})$

Etapa 2.4.21.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})$

Etapa 2.4.21.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.21.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})$

Etapa 2.4.21.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})$

Etapa 2.4.21.4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})$

Etapa 2.4.21.5

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{2} + 2$ e $2$ .

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Etapa 2.4.21.5.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})$

Etapa 2.4.21.5.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})$

Etapa 2.4.21.5.3

Fatore $2$ de $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})$

Etapa 2.4.21.5.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.21.5.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})$

Etapa 2.4.21.5.4.2

Cancele o fator comum.

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})$

Etapa 2.4.21.5.4.3

Reescreva a expressão.

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})$

Etapa 2.4.21.5.4.4

Divida $\sqrt{2} + 1$ por $1$ .

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})$

Etapa 2.4.22

Some $2$ e $1$ .

$\arctan (- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})$

Etapa 2.4.23

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\arctan (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})$

Forma decimal:

$- 1.17809724 \dots$