Trigonometria Exemplos

$2 \cos^{2} (15) - 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (15)$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$2 \cos^{2} (45 - 30) - 1$

Etapa 1.1.2

Separar negativação.

$2 \cos^{2} (45 - (30)) - 1$

Etapa 1.1.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$2 {(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))}^{2} - 1$

Etapa 1.1.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Etapa 1.1.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Etapa 1.1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$2 {(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Etapa 1.1.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Etapa 1.1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Etapa 1.1.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2} - 1$

Etapa 1.1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

Etapa 1.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 {(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

Etapa 1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}} - 1$

Etapa 1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16} - 1$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $16$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 (8)} - 1$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 \cdot 8} - 1$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{8} - 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ como $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Etapa 1.6

Expanda $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.3

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.6

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 1.7.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.9

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.10

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.11

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 1.7.1.11.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.11.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.12

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.13

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.14

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.15

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8} - 1$

Etapa 1.7.1.16

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{8} - 1$

Etapa 1.7.2

Some $6$ e $2$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{8} - 1$

Etapa 1.7.3

Some $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

Etapa 1.8

Cancele o fator comum de $8 + 4 \sqrt{3}$ e $8$ .

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Etapa 1.8.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

Etapa 1.8.2

Fatore $4$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{8} - 1$

Etapa 1.8.3

Fatore $4$ de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{8} - 1$

Etapa 1.8.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.8.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (2)} - 1$

Etapa 1.8.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 2} - 1$

Etapa 1.8.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1$

Etapa 2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3

Combine frações.

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Etapa 3.1

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2}{2}$

Etapa 4.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Forma decimal:

$0.86602540 \dots$