Trigonometria Exemplos

$\cos (\frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (\frac{7 π}{12})$ é $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{7 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.1.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.1.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.1.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.1.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.1.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.1.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.1.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.1.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.1.4.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.1.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Etapa 1.2.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.2.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.2.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.2.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Etapa 1.2.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 2

Para escrever $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 5

Fatore $- 1$ de $- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{6}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{6}) + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 7

Fatore $- 1$ de $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 8

Fatore $- 1$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})}{4}$

Etapa 9

Fatore $- 1$ de $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Reescreva $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})$ como $- 1 (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Etapa 10.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$