Trigonometria Exemplos

$\cos (6 x) + \cos (4 x)$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$\cos (2 (3 x)) + \cos (4 x)$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a fórmula do arco triplo para transformar $\cos (3 x)$ em $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 {(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2} - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.2

Reescreva ${(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2}$ como $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ .

$2 ((4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.3

Expanda $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 (4 \cdot 4 \cos^{3} (x) \cos^{3} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.2

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $\cos^{3} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.2.1

Mova $\cos^{3} (x)$ .

$2 (4 \cdot 4 (\cos^{3} (x) \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (4 \cdot 4 {\cos (x)}^{3 + 3} + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.2.3

Some $3$ e $3$ .

$2 (4 \cdot 4 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.4

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.4.1

Mova $\cos (x)$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.4.2

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{3} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.4.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos^{1} (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 3} \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.4.3

Some $1$ e $3$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{4} (x) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.5

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.6

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{3} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.6.1

Mova $\cos^{3} (x)$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.6.2

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.6.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos^{1} (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 {\cos (x)}^{3 + 1} \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.6.3

Some $3$ e $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos^{4} (x) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.7

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.8

Multiplique $- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.8.1

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos (x) \cos (x)) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.8.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos^{1} (x) \cos (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.8.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 {\cos (x)}^{1 + 1}) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.1.8.5

Some $1$ e $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.4.2

Subtraia $12 \cos^{4} (x)$ de $- 12 \cos^{4} (x)$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 24 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (16 \cos^{6} (x)) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Multiplique $16$ por $2$ .

$32 \cos^{6} (x) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $- 24$ por $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.2.6.3

Multiplique $9$ por $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (4 x)$

Etapa 1.3

Fatore $2$ de $4 x$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (2 (2 x))$

Etapa 1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2

Reescreva ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ como $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1$

Etapa 1.4.3

Expanda $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1$

Etapa 1.4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1$

Etapa 1.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Etapa 1.4.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot 2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Etapa 1.4.4.1.2

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1.2.1

Mova $\cos^{2} (x)$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot 2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Etapa 1.4.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot 2 {\cos (x)}^{2 + 2} + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Etapa 1.4.4.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot 2 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Etapa 1.4.4.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Etapa 1.4.4.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Etapa 1.4.4.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1$

Etapa 1.4.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1$

Etapa 1.4.4.2

Subtraia $2 \cos^{2} (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1$

Etapa 1.4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1$

Etapa 1.4.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1$

Etapa 1.4.6.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1$

Etapa 1.4.6.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1$

Etapa 1.5

Subtraia $1$ de $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1$

Etapa 2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine os termos opostos em $32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) + 0 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x)$

Etapa 2.1.2

Some $32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x)$ e $0$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x)$

Etapa 2.2

Some $- 48 \cos^{4} (x)$ e $8 \cos^{4} (x)$ .

$32 \cos^{6} (x) - 40 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 8 \cos^{2} (x)$

Etapa 2.3

Subtraia $8 \cos^{2} (x)$ de $18 \cos^{2} (x)$ .

$32 \cos^{6} (x) - 40 \cos^{4} (x) + 10 \cos^{2} (x)$