Trigonometria Exemplos

$\cos (2 \arctan (x))$

Etapa 1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (\arctan (x)) - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, x)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, x)$ . Portanto, $\cos (\arctan (x))$ é $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.3.3

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.3.6.5

Simplifique.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.5

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.5.5

Simplifique.

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.6

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.2.1

Fatore $1 + x^{2}$ de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Etapa 2.1.7

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, x)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, x)$ . Portanto, $\sin (\arctan (x))$ é $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Etapa 2.1.8

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Etapa 2.1.9

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Etapa 2.1.9.2

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Etapa 2.1.9.3

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}^{2}$

Etapa 2.1.9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}^{2}$

Etapa 2.1.9.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}^{2}$

Etapa 2.1.9.6

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Etapa 2.1.9.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Etapa 2.1.9.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Etapa 2.1.9.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Etapa 2.1.9.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}^{2}$

Etapa 2.1.9.6.5

Simplifique.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}$

Etapa 2.1.10

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{{(x \sqrt{1 + x^{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.10.2

Aplique a regra do produto a $x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.11

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.11.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.11.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.11.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.11.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.11.5

Simplifique.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.12

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.12.1

Fatore $1 + x^{2}$ de $x^{2} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.12.2.1

Fatore $1 + x^{2}$ de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}$

Etapa 2.1.12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}$

Etapa 2.1.12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$