Trigonometria Exemplos

$\cos (2 \arcsin (x))$

Etapa 1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (\arcsin (x)) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Portanto, $\cos (\arcsin (x))$ é $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

${\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.4

Reescreva ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Etapa 2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.4.1

Cancele o fator comum.

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.4.4.2

Reescreva a expressão.

${((1 + x) (1 - x))}^{1} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.4.5

Simplifique.

$(1 + x) (1 - x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.5

Expanda $(1 + x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 - x) + x (1 - x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.6.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$1 - x + x + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 - x + x - x \cdot x - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.6.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.1.5.1

Mova $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.6.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 - x + x - x^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.6.2

Some $- x$ e $x$ .

$1 + 0 - x^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.6.3

Some $1$ e $0$ .

$1 - x^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Etapa 2.7

As funções seno e arco seno são inversos.

$1 - x^{2} - x^{2}$

Etapa 3

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$1 - 2 x^{2}$