Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (112.5)$ é $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $112.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos^{2} (\frac{225}{2}) - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.1.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o cosseno é negativo no segundo quadrante.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.1.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ .

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Etapa 1.1.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.1.4.2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.1.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.1.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.1.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.1.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.1.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.1.4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.1.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.4

Multiplique $\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.5

Reescreva ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ como $2 - \sqrt{2}$ .

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Etapa 1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ como ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.5.5

Simplifique.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (112.5)$

Etapa 1.7

O valor exato de $\sin (112.5)$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 1.7.1

Reescreva $112.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (\frac{225}{2})$

Etapa 1.7.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}})}^{2}$

Etapa 1.7.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o seno é positivo no segundo quadrante.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}}^{2}$

Etapa 1.7.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}$ .

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Etapa 1.7.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}}}^{2}$

Etapa 1.7.4.2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Etapa 1.7.4.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.7.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Etapa 1.7.4.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Etapa 1.7.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Etapa 1.7.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Etapa 1.7.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

Etapa 1.7.4.7

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.7.4.7.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

Etapa 1.7.4.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

Etapa 1.7.4.8

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

Etapa 1.7.4.9

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.4.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

Etapa 1.7.4.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Etapa 1.8

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 1.9

Reescreva ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ como $2 + \sqrt{2}$ .

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Etapa 1.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ como ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 1.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 1.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 1.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.9.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 1.9.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

Etapa 1.9.5

Simplifique.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

Etapa 1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - \sqrt{2} - (2 + \sqrt{2})}{4}$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 - \sqrt{2} - 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2} - 2 - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $0$ .

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.3

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{4}$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (2)}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$- 0.70710678 \dots$