Trigonometria Exemplos

$\sin (\arctan (2 x) - \arccos (x))$

Etapa 1

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\sin (\arctan (2 x)) \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (2 x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, 2 x)$ . Portanto, $\sin (\arctan (2 x))$ é $\frac{2 x}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.3

Multiplique $\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.4.1

Multiplique $\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.4.2

Eleve $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.4.3

Eleve $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}$ como $1 + 4 x^{2}$ .

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Etapa 2.1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ como ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{1}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.4.6.5

Simplifique.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.5

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} x - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.6

Multiplique $\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} x$ .

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Etapa 2.1.6.1

Combine $\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.6.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.6.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.7

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (2 x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, 2 x)$ . Portanto, $\cos (\arctan (2 x))$ é $\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.8.1

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.8.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.9

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - (\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.10

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.10.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.10.2

Eleve $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.10.3

Eleve $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.10.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.10.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.10.6

Reescreva ${\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}$ como $1 + 4 x^{2}$ .

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Etapa 2.1.10.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ como ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.10.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.10.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.10.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.10.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.10.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{1}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.10.6.5

Simplifique.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 2.1.11

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Portanto, $\sin (\arccos (x))$ é $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1 - x^{2}}$

Etapa 2.1.12

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Etapa 2.1.13

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.1.14

Multiplique $- \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Etapa 2.1.14.1

Combine $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ e $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}}$

Etapa 2.1.14.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + 4 x^{2})}}{1 + 4 x^{2}}$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} - \sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + 4 x^{2})}}{1 + 4 x^{2}}$