Trigonometria Exemplos

$\sin (\arcsin (2 x) + \arccos (2 x))$

Etapa 1

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\sin (\arcsin (2 x)) \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

As funções seno e arco seno são inversos.

$2 x \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Etapa 2.1.2

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$2 x (2 x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Etapa 2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 2 x \cdot x + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Etapa 2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.4.1

Mova $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Etapa 2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Etapa 2.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Etapa 2.1.6

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (2 x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ . Portanto, $\cos (\arcsin (2 x))$ é $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

Etapa 2.1.7

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

Etapa 2.1.8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 2 x$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} \sin (\arccos (2 x))$

Etapa 2.1.9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sin (\arccos (2 x))$

Etapa 2.1.10

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ , $(2 x, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (2 x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ . Portanto, $\sin (\arccos (2 x))$ é $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$

Etapa 2.1.11

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}$

Etapa 2.1.12

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 2 x$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}$

Etapa 2.1.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Etapa 2.1.14

Multiplique $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ .

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Etapa 2.1.14.1

Eleve $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ à potência de $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Etapa 2.1.14.2

Eleve $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ à potência de $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}$

Etapa 2.1.14.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}$

Etapa 2.1.14.4

Some $1$ e $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$

Etapa 2.1.15

Reescreva ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ como $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

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Etapa 2.1.15.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ como ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x^{2} + {({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.1.15.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.1.15.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.1.15.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.15.4.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.1.15.4.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}$

Etapa 2.1.15.5

Simplifique.

$4 x^{2} + (1 + 2 x) (1 - 2 x)$

Etapa 2.1.16

Expanda $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} + 1 (1 - 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

Etapa 2.1.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

Etapa 2.1.16.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Etapa 2.1.17

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.17.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.17.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$4 x^{2} + 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Etapa 2.1.17.1.2

Multiplique $- 2 x$ por $1$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Etapa 2.1.17.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 x (- 2 x)$

Etapa 2.1.17.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x \cdot x$

Etapa 2.1.17.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.17.1.5.1

Mova $x$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

Etapa 2.1.17.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x^{2}$

Etapa 2.1.17.1.6

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x - 4 x^{2}$

Etapa 2.1.17.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$4 x^{2} + 1 + 0 - 4 x^{2}$

Etapa 2.1.17.3

Some $1$ e $0$ .

$4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$

Etapa 2.2

Combine os termos opostos em $4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Subtraia $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$0 + 1$

Etapa 2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$1$