Trigonometria Exemplos

$\tan (\frac{π}{6} + \frac{7 π}{4})$

Etapa 1

Para escrever $\frac{π}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{4})$

Etapa 2

Para escrever $\frac{7 π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{7 π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{7 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Etapa 3.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{7 π \cdot 3}{12})$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\tan (\frac{π \cdot 2 + 7 π \cdot 3}{12})$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\tan (\frac{2 \cdot π + 7 π \cdot 3}{12})$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $7$ .

$\tan (\frac{2 π + 21 π}{12})$

Etapa 5.3

Some $2 π$ e $21 π$ .

$\tan (\frac{23 π}{12})$

Etapa 6

O valor exato de $\tan (\frac{23 π}{12})$ é $- 2 + \sqrt{3}$ .

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Etapa 6.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$- \tan (\frac{π}{12})$

Etapa 6.2

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Etapa 6.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$- \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Etapa 6.4

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$- \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Etapa 6.5

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Etapa 6.6

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Etapa 6.7

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 6.8

Simplifique $- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Etapa 6.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Etapa 6.8.1.1

Multiplique $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Etapa 6.8.1.2

Combine.

$- \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 6.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 6.8.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.8.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 6.8.3.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 6.8.3.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 6.8.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 6.8.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.8.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 6.8.5.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.8.5.2.1

Fatore $3$ de $3 \cdot 1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 6.8.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 6.8.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Etapa 6.8.6

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})$

Etapa 6.8.7

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Etapa 6.8.8

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 6.8.9

Simplifique.

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Etapa 6.8.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.8.10.1

Eleve $3 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Etapa 6.8.10.2

Eleve $3 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Etapa 6.8.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Etapa 6.8.10.4

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Etapa 6.8.11

Reescreva ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Etapa 6.8.12

Expanda $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.8.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Etapa 6.8.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Etapa 6.8.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Etapa 6.8.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.8.13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.8.13.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Etapa 6.8.13.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Etapa 6.8.13.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Etapa 6.8.13.1.4

Multiplique $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Etapa 6.8.13.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 6.8.13.1.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 6.8.13.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 6.8.13.1.4.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Etapa 6.8.13.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Etapa 6.8.13.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Etapa 6.8.13.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 6.8.13.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Etapa 6.8.13.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Etapa 6.8.13.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Etapa 6.8.13.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.8.13.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Etapa 6.8.13.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Etapa 6.8.13.1.5.5

Avalie o expoente.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Etapa 6.8.13.2

Some $9$ e $3$ .

$- \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 6.8.13.3

Subtraia $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 6.8.14

Cancele o fator comum de $12 - 6 \sqrt{3}$ e $6$ .

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Etapa 6.8.14.1

Fatore $6$ de $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 6.8.14.2

Fatore $6$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Etapa 6.8.14.3

Fatore $6$ de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Etapa 6.8.14.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.8.14.4.1

Fatore $6$ de $6$ .

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Etapa 6.8.14.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Etapa 6.8.14.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Etapa 6.8.14.4.4

Divida $2 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Etapa 6.8.15

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Etapa 6.8.16

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Etapa 6.8.17

Multiplique $- - \sqrt{3}$ .

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Etapa 6.8.17.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Etapa 6.8.17.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 2 + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$- 0.26794919 \dots$