Trigonometria Exemplos

$\sin (15) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sin (45 - 30) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.2

Separar negativação.

$\sin (45 - (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$(\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Etapa 2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 3

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 6

Multiplique $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 6.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 6.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 7.2

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 7.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 7.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 7.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 7.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 7.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 7.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 7.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 7.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 7.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{3} - 2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 8.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 8.3

Fatore $2$ de $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 8.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 8.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 8.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (15) \sin (45)$

Etapa 9

O valor exato de $\cos (15)$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (45 - 30) \sin (45)$

Etapa 9.2

Separar negativação.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (45 - (30)) \sin (45)$

Etapa 9.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

Etapa 9.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

Etapa 9.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

Etapa 9.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \sin (45)$

Etapa 9.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Etapa 9.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Etapa 9.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Etapa 9.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Etapa 9.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Etapa 9.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (45)$

Etapa 9.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (45)$

Etapa 9.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (45)$

Etapa 10

Multiplique $\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} \sin (45)$

Etapa 10.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Etapa 11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Expanda $(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Etapa 11.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Etapa 11.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Etapa 11.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Etapa 11.2.1.3

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.1

Fatore $9$ de $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Etapa 11.2.1.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Etapa 11.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Etapa 11.2.1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Etapa 11.2.1.7

Reescreva $- 1 \sqrt{6}$ como $- \sqrt{6}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Etapa 11.2.1.8

Reescreva $- 1 \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Etapa 11.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{16} \sin (45)$

Etapa 11.2.3

Subtraia $\sqrt{6}$ de $\sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{16} \sin (45)$

Etapa 11.2.4

Some $2 \sqrt{2}$ e $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Etapa 12

Cancele o fator comum de $2$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Etapa 12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8} \sin (45)$

Etapa 12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8} \sin (45)$

Etapa 12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{8} \sin (45)$

Etapa 13

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 14

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{8}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{8 \cdot 2}$

Etapa 14.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{8 \cdot 2}$

Etapa 14.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{8 \cdot 2}$

Etapa 14.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8 \cdot 2}$

Etapa 14.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{8 \cdot 2}$

Etapa 14.6

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Etapa 15

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Etapa 15.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Etapa 15.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Etapa 15.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Etapa 15.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2^{1}}{16}$

Etapa 15.5

Avalie o expoente.

$\frac{2}{16}$

Etapa 16

Cancele o fator comum de $2$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{16}$

Etapa 16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Etapa 16.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Etapa 16.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8}$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{8}$

Forma decimal:

$0.125$