Trigonometria Exemplos

$\sin (105) \sin (15)$

Etapa 1

O valor exato de $\sin (105)$ é $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sin (75) \sin (15)$

Etapa 1.2

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sin (30 + 45) \sin (15)$

Etapa 1.3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (15)$

Etapa 1.4

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (15)$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \sin (15)$

Etapa 1.6

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \sin (15)$

Etapa 1.7

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Etapa 1.8

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Etapa 1.8.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Etapa 1.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Etapa 1.8.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Etapa 1.8.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Etapa 1.8.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (15)$

Etapa 1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (15)$

Etapa 2

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (45 - 30)$

Etapa 2.2

Separar negativação.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (45 - (30))$

Etapa 2.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 2.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 2.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 2.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Etapa 2.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 2.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Etapa 2.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Etapa 3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Expanda $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.5.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.8

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.9

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.10

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.11

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.12

Multiplique $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.12.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Etapa 4.2.1.12.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{12}}{16}$

Etapa 4.2.1.13

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.13.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{4 (3)}}{16}$

Etapa 4.2.1.13.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Etapa 4.2.1.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - (2 \sqrt{3})}{16}$

Etapa 4.2.1.15

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - 2 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2 \sqrt{3}$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 - 2 + 6}{16}$

Etapa 4.2.3

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{- 2 + 6}{16}$

Etapa 4.2.4

Some $- 2$ e $6$ .

$\frac{4}{16}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{16}$

Etapa 5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$