Trigonometria Exemplos

$\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))$

Etapa 1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (\frac{2}{x})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})$ . Portanto, $\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))$ é $\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

Etapa 1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

Etapa 2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{2}{x}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} (1 - \frac{2}{x})}$

Etapa 3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} (\frac{x}{x} - \frac{2}{x})}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x - 2}{x}}$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{x + 2}{x}$ por $\frac{x - 2}{x}$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x}}$

Etapa 3.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}$

Etapa 4

Reescreva $\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Etapa 4.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2}}}$

Etapa 4.2

Fatore a potência perfeita $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}}$

Etapa 4.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Etapa 5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{1}{x} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{x}$ e $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}$