Trigonometria Exemplos

$\cos (105) + \cos (15)$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (105)$ é $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \cos (75) + \cos (15)$

Etapa 1.1.2

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \cos (30 + 45) + \cos (15)$

Etapa 1.1.3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + \cos (15)$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + \cos (15)$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) + \cos (15)$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) + \cos (15)$

Etapa 1.1.7

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Etapa 1.1.8

Simplifique $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Etapa 1.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Etapa 1.1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Etapa 1.1.8.1.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Etapa 1.1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Etapa 1.1.8.1.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \cos (15)$

Etapa 1.1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) + \cos (15)$

Etapa 1.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (15)$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (15)$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.2.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (45 - 30)$

Etapa 1.2.2

Separar negativação.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (45 - (30))$

Etapa 1.2.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)$

Etapa 1.2.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)$

Etapa 1.2.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)$

Etapa 1.2.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)$

Etapa 1.2.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.2.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Etapa 1.2.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.2

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Some $- \sqrt{6}$ e $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.2

Some $0$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.3

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$