Trigonometria Exemplos

$2 y^{4} + 3 y^{3} - 42 y^{2} + 68 y - 24 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reagrupe os termos.

$3 y^{3} - 24 + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Etapa 1.2

Fatore $3$ de $3 y^{3} - 24$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $3$ de $3 y^{3}$ .

$3 (y^{3}) - 24 + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $3$ de $- 24$ .

$3 y^{3} + 3 \cdot - 8 + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $3$ de $3 y^{3} + 3 \cdot - 8$ .

$3 (y^{3} - 8) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$3 (y^{3} - 2^{3}) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Etapa 1.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = y$ e $b = 2$ .

$3 ((y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2})) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Etapa 1.5

Fatore.

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Etapa 1.5.1

Simplifique.

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Etapa 1.5.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$3 ((y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2})) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Etapa 1.5.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$3 ((y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Etapa 1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Etapa 1.6

Fatore $2 y$ de $2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y$ .

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Etapa 1.6.1

Fatore $2 y$ de $2 y^{4}$ .

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3}) - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Etapa 1.6.2

Fatore $2 y$ de $- 42 y^{2}$ .

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3}) + 2 y (- 21 y) + 68 y = 0$

Etapa 1.6.3

Fatore $2 y$ de $68 y$ .

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3}) + 2 y (- 21 y) + 2 y (34) = 0$

Etapa 1.6.4

Fatore $2 y$ de $2 y (y^{3}) + 2 y (- 21 y)$ .

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3} - 21 y) + 2 y (34) = 0$

Etapa 1.6.5

Fatore $2 y$ de $2 y (y^{3} - 21 y) + 2 y (34)$ .

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3} - 21 y + 34) = 0$

Etapa 1.7

Fatore.

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Etapa 1.7.1

Fatore $y^{3} - 21 y + 34$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.7.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 34, \pm 2, \pm 17$

$q = \pm 1$

Etapa 1.7.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 34, \pm 2, \pm 17$

Etapa 1.7.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.7.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} - 21 \cdot 2 + 34$

Etapa 1.7.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 21 \cdot 2 + 34$

Etapa 1.7.1.3.3

Multiplique $- 21$ por $2$ .

$8 - 42 + 34$

Etapa 1.7.1.3.4

Subtraia $42$ de $8$ .

$- 34 + 34$

Etapa 1.7.1.3.5

Some $- 34$ e $34$ .

$0$

Etapa 1.7.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $y - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{y^{3} - 21 y + 34}{y - 2}$

Etapa 1.7.1.5

Divida $y^{3} - 21 y + 34$ por $y - 2$ .

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Etapa 1.7.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$2$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$21 y$

$34$

Etapa 1.7.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$

Etapa 1.7.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			+	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$

Etapa 1.7.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{3} - 2 y^{2}$ .

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$

Etapa 1.7.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$

Etapa 1.7.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$

Etapa 1.7.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$

Etapa 1.7.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					+	$2 y^{2}$	-	$4 y$

Etapa 1.7.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 y^{2} - 4 y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$

Etapa 1.7.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$

Etapa 1.7.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$

Etapa 1.7.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 17 y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$

Etapa 1.7.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$
							-	$17 y$	+	$34$

Etapa 1.7.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 17 y + 34$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$
							+	$17 y$	-	$34$

Etapa 1.7.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$
							+	$17 y$	-	$34$
										$0$

Etapa 1.7.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$y^{2} + 2 y - 17$

Etapa 1.7.1.6

Escreva $y^{3} - 21 y + 34$ como um conjunto de fatores.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y ((y - 2) (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Etapa 1.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17) = 0$

Etapa 1.8

Fatore $y - 2$ de $3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17)$ .

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Etapa 1.8.1

Fatore $y - 2$ de $3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)$ .

$(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4)) + 2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17) = 0$

Etapa 1.8.2

Fatore $y - 2$ de $2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17)$ .

$(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4)) + (y - 2) (2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Etapa 1.8.3

Fatore $y - 2$ de $(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4)) + (y - 2) (2 y (y^{2} + 2 y - 17))$ .

$(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Etapa 1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$(y - 2) (3 y^{2} + 3 (2 y) + 3 \cdot 4 + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot 4 + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Etapa 1.10.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Etapa 1.11

Aplique a propriedade distributiva.

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y \cdot y^{2} + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Etapa 1.12

Simplifique.

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Etapa 1.12.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.12.1.1

Mova $y^{2}$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 (y^{2} y) + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Etapa 1.12.1.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 1.12.1.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 (y^{2} y) + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Etapa 1.12.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{2 + 1} + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Etapa 1.12.1.3

Some $2$ e $1$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Etapa 1.12.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 y \cdot y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Etapa 1.12.3

Multiplique $- 17$ por $2$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 y \cdot y) - 34 y) = 0$

Etapa 1.13

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.13.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.13.1.1

Mova $y$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) - 34 y) = 0$

Etapa 1.13.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 y^{2}) - 34 y) = 0$

Etapa 1.13.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 4 y^{2} - 34 y) = 0$

Etapa 1.14

Some $3 y^{2}$ e $4 y^{2}$ .

$(y - 2) (7 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} - 34 y) = 0$

Etapa 1.15

Subtraia $34 y$ de $6 y$ .

$(y - 2) (7 y^{2} - 28 y + 12 + 2 y^{3}) = 0$

Etapa 1.16

Reordene os termos.

$(y - 2) (2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12) = 0$

Etapa 1.17

Fatore.

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Etapa 1.17.1

Reescreva $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ em uma forma fatorada.

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Etapa 1.17.1.1

Fatore $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 1.17.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Etapa 1.17.1.1.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.17.1.1.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 7 \cdot {0.5}^{2} - 28 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 1.17.1.1.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 7 \cdot {0.5}^{2} - 28 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 1.17.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $0.125$ .

$0.25 + 7 \cdot {0.5}^{2} - 28 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 1.17.1.1.3.4

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$0.25 + 7 \cdot 0.25 - 28 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 1.17.1.1.3.5

Multiplique $7$ por $0.25$ .

$0.25 + 1.75 - 28 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 1.17.1.1.3.6

Some $0.25$ e $1.75$ .

$2 - 28 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 1.17.1.1.3.7

Multiplique $- 28$ por $0.5$ .

$2 - 14 + 12$

Etapa 1.17.1.1.3.8

Subtraia $14$ de $2$ .

$- 12 + 12$

Etapa 1.17.1.1.3.9

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 1.17.1.1.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 y - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12}{2 y - 1}$

Etapa 1.17.1.1.5

Divida $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ por $2 y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 y$

$1$

$2 y^{3}$

$7 y^{2}$

$28 y$

$12$

Etapa 1.17.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 y^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 y$ .

					$y^{2}$
	$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$

Etapa 1.17.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			+	$2 y^{3}$	-	$y^{2}$

Etapa 1.17.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 y^{3} - y^{2}$ .

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$

Etapa 1.17.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$

Etapa 1.17.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$

Etapa 1.17.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 y$ .

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$

Etapa 1.17.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					+	$8 y^{2}$	-	$4 y$

Etapa 1.17.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 y^{2} - 4 y$ .

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$

Etapa 1.17.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$

Etapa 1.17.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$

Etapa 1.17.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 24 y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 y$ .

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$

Etapa 1.17.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$
							-	$24 y$	+	$12$

Etapa 1.17.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 24 y + 12$ .

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$
							+	$24 y$	-	$12$

Etapa 1.17.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$
							+	$24 y$	-	$12$
										$0$

Etapa 1.17.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$y^{2} + 4 y - 12$

Etapa 1.17.1.1.6

Escreva $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ como um conjunto de fatores.

$(y - 2) ((2 y - 1) (y^{2} + 4 y - 12)) = 0$

Etapa 1.17.1.2

Fatore $y^{2} + 4 y - 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.1.2.1

Fatore $y^{2} + 4 y - 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $4$ .

$- 2, 6$

Etapa 1.17.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(y - 2) ((2 y - 1) ((y - 2) (y + 6))) = 0$

Etapa 1.17.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(y - 2) ((2 y - 1) (y - 2) (y + 6)) = 0$

Etapa 1.17.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(y - 2) (2 y - 1) (y - 2) (y + 6) = 0$

Etapa 1.18

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.18.1

Eleve $y - 2$ à potência de $1$ .

$(y - 2) (y - 2) (2 y - 1) (y + 6) = 0$

Etapa 1.18.2

Eleve $y - 2$ à potência de $1$ .

$(y - 2) (y - 2) (2 y - 1) (y + 6) = 0$

Etapa 1.18.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(y - 2)}^{1 + 1} (2 y - 1) (y + 6) = 0$

Etapa 1.18.4

Some $1$ e $1$ .

${(y - 2)}^{2} (2 y - 1) (y + 6) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(y - 2)}^{2} = 0$

$2 y - 1 = 0$

$y + 6 = 0$

Etapa 3

Defina ${(y - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina ${(y - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(y - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva ${(y - 2)}^{2} = 0$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Defina $y - 2$ como igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2$

Etapa 4

Defina $2 y - 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $2 y - 1$ como igual a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2 y - 1 = 0$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 y = 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $2 y = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $2 y = 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Defina $y + 6$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $y + 6$ como igual a $0$ .

$y + 6 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$y = - 6$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam ${(y - 2)}^{2} (2 y - 1) (y + 6) = 0$ verdadeiro.

$y = 2, \frac{1}{2}, - 6$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = 2, \frac{1}{2}, - 6$

Forma decimal:

$y = 2, 0.5, - 6$