Trigonometria Exemplos

$z^{3} + 8 = 0$

Etapa 1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$z^{3} = - 8$

Etapa 2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$z^{3} + 8 = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$z^{3} + 2^{3} = 0$

Etapa 3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = z$ e $b = 2$ .

$(z + 2) (z^{2} - z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 2^{2}) = 0$

Etapa 3.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$z + 2 = 0$

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Etapa 5

Defina $z + 2$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $z + 2$ como igual a $0$ .

$z + 2 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$z = - 2$

Etapa 6

Defina $z^{2} - 2 z + 4$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $z^{2} - 2 z + 4$ como igual a $0$ .

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $z$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$z = 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$z = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$ verdadeiro.

$z = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$