Trigonometria Exemplos

$\sin^{2} (2 x) - 3 \sin (2 x) + 1 = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (2 x)$ .

${(u)}^{2} - 3 u + 1 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $4$ de $9$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 6

Substitua $\sin (2 x)$ por $u$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

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Etapa 8.1

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 9

Resolva $x$ em $\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Etapa 9.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$ .

$2 x = 0.39192267$

Etapa 9.3

Divida cada termo em $2 x = 0.39192267$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.3.1

Divida cada termo em $2 x = 0.39192267$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

Etapa 9.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0.39192267}{2}$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.3.1

Divida $0.39192267$ por $2$ .

$x = 0.19596133$

Etapa 9.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = (3.14159265) - 0.39192267$

Etapa 9.5

Resolva $x$ .

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Etapa 9.5.1

Subtraia $0.39192267$ de $3.14159265$ .

$2 x = 2.74966997$

Etapa 9.5.2

Divida cada termo em $2 x = 2.74966997$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.5.2.1

Divida cada termo em $2 x = 2.74966997$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

Etapa 9.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

Etapa 9.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2.74966997}{2}$

Etapa 9.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.5.2.3.1

Divida $2.74966997$ por $2$ .

$x = 1.37483498$

Etapa 9.6

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 9.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 9.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 9.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 9.6.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 9.7

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Liste todas as soluções.

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$